twitterで見かけた入試問題のメモ

circle

twitter見てたらこんなのが流れてきました。

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— 寮母ありがとうbot (@maring_rin) December 30, 2020

自力で解けなかったのが悔しかったのでメモします。円周角の定理で出せます。

1.円周角の定理の利用

draw.ioで楕円をどうやって書くのかわからなかったので円2つで書いてます。またすでに必要な補助線を引いてある状態です。

まず、小さい方の円に対して円周角の定理より\angle BEC=90^\circ 。 \\ 次に\angle BEDを求める。 \\ ここで、四角形ABCDは正方形より、\angle BAE+\angle DAE=90^\circ である。 \\ 大きい円に対して円周角の定理を用いると、\\ \angle BDE = \frac{1}{2}\angle BAE\\ \angle DBE = \frac{1}{2}\angle DAE\\ であるので、\\ \angle BDE+\angle DBE=\frac{1}{2}\left(\angle BAE+\angle DAE\right)=45^\circ\\ である。よって、\\ \angle BED = 180^\circ-45^\circ=135^\circ\\ とわかる。よって、求める角度\angle CEDは\\ \angle CED = 360^\circ - 90^\circ - 135^\circ = 135^\circ\\ である。

円があったら円周角を使えるんだろうという発想から、円周上の各点を直線で結んであげるとすんなり解けるなあというのが感想です。

塾講で教えてる時、そういうことを生徒に言った覚えがありますが、自分もできてないとはなあという感じです。

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補助線まつり。右側の直角三角形2つが合同より、直角二等辺三角形が導き出せるので、

90^\circ+45^\circ=135^\circ

で出ます。下の直角は平行などを駆使すると円周角の定理以外でも出せます。

中学入試らしいといえばらしい問題ですが、こんな補助線引けないというのが感想です。

1枚目でむずって思ってたけどoxで二等辺三角形使って⭐︎出したら中受範囲でも難しくなかった pic.twitter.com/0hnve0B1zB
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もう一度同じ図を用います。

円の半径よりAB=AE,AD=AEであるので、\triangle ABEと\triangle ADEは二等辺三角形である。\\ \triangle ABEにおいて、\angle AEB = \frac{1}{2}\left(180^\circ - \angle BAE\right)=90^\circ - \frac{1}{2}\angle BAE\\ \triangle ADEおいても同様に、\angle AED = 90^\circ - \frac{1}{2}\angle DAE \\ また、\angle BAE + \angle DAE = 90^\circ であるので、\angle BEDは、\\ \angle BAE = \angle AEB + \angle AED = 180^\circ - 45^\circ=135^\circ\\ である。よって、求める角度\angle CDEは135^\circである。

90°部分は求まっているとしてます。これなら確かに簡単ですが、直角であることを示さなければいけないので、円周角の定理を使ったほうが楽な気がします。円周角の定理自体を示してしまえば楽だとは思いますが。

この問題に1時間ぐらいかけていたので、私は実に馬鹿だなあと思いました。来年は少し賢くなれるように頑張りたいです。