二項分布、幾何分布、負の二項分布の平均と分散

Binomial distribution

大学の授業で統計の授業を取ったのですが、統計をやったのが2年前で忘れていました。そのため、色々調べながら二項分布、幾何分布、負の二項分布の平均と分散について解いてみました。

1.確率変数の平均と分散

確率変数には連続型と離散型があります。今回の二項分布の場合は離散型です。

よく問題に”平均を求めよ”と書かれていますが、これは高校までで習う確率の期待値と同じになります。

これは次のように計算できます。

\begin{eqnarray*} E(X)=\sum_{i=0}^{n} x_i\times p_i \end{eqnarray*}

分散 $V(X)$ は、一般に二乗期待値 $E(X^2)$ と期待値 $E(X)$ の二乗に等しくなります。つまり、次のように計算できます。

\begin{eqnarray*} V(X)=E(X^2)-E(X)^2 \end{eqnarray*}

2.組み合わせの表し方

高校までは組み合わせを ${}_n\mathrm{C}_r$ と表します。しかし、統計を調べていると次のように表すことが多いようです。

\begin{eqnarray*} {}_n\mathrm{C}_r=\left(\begin{array}{c}n\\r\end{array}\right) \end{eqnarray*}

あまり馴染みのない表し方なので、私はCombinationを使って書いていきます。

また、Combinationの計算は、

\begin{eqnarray*}<br>{}_n\mathrm{C}_r = \frac{n!}{(n-r)!r!}<br>\end{eqnarray*}

です。

3.二項定理

任意の $x$ と $y$ に対して、

\begin{eqnarray*} (x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_n {C}_k x^ky^{n-k} \end{eqnarray*}

が成立します。これも高校数学で習う範囲です。

4.二項分布の平均と分散

\begin{eqnarray*} p_x={}_n\mathrm{C}_xp^x(1-p)^{n-x},x=0,1,2,\cdots,n(0\leq x\leq1) \end{eqnarray*}

この場合の平均と分散を求めていきます。

平均

\begin{eqnarray*} E(X)&=& \sum_{k=0}^{n}kp_k \nonumber \\ &=& \sum_{k=0}^{n}k\cdot {}_n\mathrm{C}_kp^k(1-p)^{n-k} \nonumber \\ &=& \sum_{k=1}^{n}k\cdot {}_n\mathrm{C}_kp^k(1-p)^{n-k} \tag{1} \end{eqnarray*}

ここでは、離散型確率変数のときの平均の求め方に則って計算しています。また、3行目では $k=0$ の時0となるので、それを省いてます。

ここで

\begin{eqnarray*} k\cdot {}_n {C}_k &=& k \cdot \frac{n!}{(n-k)!k!} \\ &=& n \cdot {}_{n-1} {C}_{k-1} \end{eqnarray*}

なので、(1)式は次のように変形できます。

\begin{eqnarray*} E(X) &=& \sum_{k=1}^{n} n\cdot {}_{n-1} {C}_{k-1} p^{k-1}(1-p)^{n-k} \\ &=& np \sum_{k=1}^{n} {}_{n-1} {C}_{k-1}p^{k-1}(1-p)^{n-k} \tag{2} \end{eqnarray*}

ここで $l=k-1$ と置くと、

\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} {}_{n-1} {C}_{k-1} p^{k-1}(1-p)^{k-1} &=& \sum_{l=0}^{n} {}_{n-1} {C}_l p^l (1-p)^{(n-1)-l} \\ &=& \{p+(1-p)\}^{n-1} \\ &=& 1 ( \because二項定理) \end{eqnarray*}

となるので、(2)式に代入すると、

\begin{eqnarray*} E(X) = np　\tag{3} \end{eqnarray*}

となります。

分散

分散は次の式で求められます。

\begin{eqnarray*} V(X)=E(X^2)-E(X)^2 \end{eqnarray*}

まず、(3)式より $E(X)^2=(np)^2$ であることがわかっています。

次に $E(X^2)$ を求めます。

\begin{eqnarray*} E(X^2) &=& \sum_{k=0}^{n} k^2 {}_n {C}_kp^k(1-p)^{n-k} \\ &=& \sum_{k=1}^{n} {}_n {C}_k p^k(1-p)^{n-k} \\ &=& \sum_{k=1}^n k^2 \frac{n!}{(n-k)!k!}p^k(1-p)^{n-k} \\ &=& \sum_{k=1}^{n} k \frac{n!}{(n-k)!(k-1)!}p^k(1-p)^{n-k} \\ &=& \sum_{k=1}^{n} \{(k+1)-1\} \frac{n!}{(n-k)!(k-1)!}p^k(1-p)^{n-k} \\ &=& \sum_{k=1}^{n} (k-1)\frac{n!}{(n-k)!(k-1)!}p^k(1-p)^{n-k} + \sum_{k=1}^n \frac{n!}{(n-k)!(k-1)!}p^k(1-p)^{n-k} \tag{4}　 \end{eqnarray*}

(4)式の前半の和を $A$ 、後半の和を $B$ とします。

先に $A$ を求めます。

\begin{eqnarray*} A&=&\sum_{k=2}^{n} (k-1)\frac{n!}{(n-k)!(k-1)!}p^k(1-p)^{n-k} \\ &=& \sum_{k=2}^{n} \frac{n!}{(n-k)!(k-2)!}p^k(1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}

ここで、 $l=k-2$ とすると、

\begin{eqnarray*} A &=& \sum_{l=0}^{n-2} \frac{n!}{\{n-(l+2)\}!l!}p^{l+2}(1-p)^{n-(l+2)} \\ &=& n(n-1)p^2 \sum_{l=2}^{n} \frac{(n-2)!}{(n-2-l)!l!}p^l(1-p)^{(n-2)-l} \\ &=& n(n-1)p^2 \end{eqnarray*}

さらにBを求めます。 $m=k-1$ とおくと、

\begin{eqnarray*} B &=& \sum_{m=0}^{n-1} \frac{n!}{\{{n-(m+1)}\}!m!}p^{m+1}(1-p)^{n-(m+1)} \\ &=& np \sum_{m=0}^{n-1} \frac{(n-1)!}{(n-1-m)!m!}p^m(1-p)^{(n-1)-m} \\ &=& np \end{eqnarray*}

以上より、

\begin{eqnarray*} E(X)&=&n(n-1)p^2+np-(np)^2 \\ &=& np(1-p) \end{eqnarray*}

と求まります。

5.幾何分布

\begin{eqnarray*} p_x=p(1-p)^x,x=0,1,2,\cdots(0\leq p \leq 1) \end{eqnarray*}

これの平均と分散を求めていきます。二項分布より計算が楽です。

平均

\begin{eqnarray*} E(X)&=&\sum_{k=0}^{\infty} kp(1-p)^k \\ &=& p\sum_{k=1}^{\infty}k(1-p)^k \\ &=& p\frac{1}{\{1-(1-p)\}^2} \\ &=& \frac{1}{p} \end{eqnarray*}

2行目から3行目はマクローリン展開((5)式を参照)や等比×等差の和を求める方法などで出すことができます。

分散

$\begin{eqnarray*} V(X)=E(X^2)-E(X)^2 \end{eqnarray*}$ で求まるので、 $E(X^2)$ だけ求めます。

\begin{align*} E(X^2) &=& \sum_{k=0}^{\infty}k^2p(1-p)^k \\ &=& p\sum_{k=1}^{\infty} k^2(1-p)^k \end{align*}

ここで、 $\frac{1}{1-x}$ をマクローリン展開すると、

\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+\cdots = \sum_{k=1}^{\infty} x^k \end{eqnarray*}

となります。この両辺を $x$ で微分すると、

\begin{eqnarray*} \frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{K=1}^{n} kx^{k-1} \tag{5}　 \end{eqnarray*}

更に両辺を $x$ で微分して、

\begin{eqnarray*} \frac{2}{(1-x)^3} = \sum_{k=1}^{n}k(k-1)x^{k-2} \end{eqnarray*}

この式の両辺に $x$ を掛けたものを利用すると、

\begin{eqnarray*} E(x(x-1))&=&p \sum x(x-1)(1-p)^{x-1} \\ &=& \frac{2(1-p)}{p^2} \end{eqnarray*}

となります。ここで、期待値の線形性により、

\begin{eqnarray*} E(X^2)=E(X(X-1))+E(X) \end{eqnarray*}

が成立するので、

\begin{eqnarray*} V(X) &=& E(X^2)-E(X)^2 \\ &=& E(X(X-1)) + E(X) - E(X)^2 \\ &=& \frac{1-p}{p^2} \end{eqnarray*}

となります。

6.負の二項分布

\begin{eqnarray*} p_x= {}_{n-r-1} {C}_x p^r(1-p)^x,x=0,1,2,\cdots(0 \leq p \leq 1) \end{eqnarray*}

これの平均と分散を求めます。モーメントを利用した導出などもありますが、全くわからなかったので、もっとわかりやすい導出だけ書いていきます。(参考:モーメントを利用した導出)

平均

\begin{eqnarray*} E(X) &=& \sum_{k=0}^{\infty} k\cdot {}_{r+k-1} {C}_{k} p^r(1-p)^k \\ &=& \sum_{K=0}^{\infty} k\cdot \frac{(r+k-1)!}{k!(r+k-1-k)!}p^r(1-p^k) \\ &=& \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(r+k-1)!}{(k-1)!(r-1)!}p^r(1-p)^k \end{eqnarray*}

ここで $l=k-1$ とすると、

\begin{eqnarray*} E(X) &=& \sum_{l=0}^{\infty} \frac{(r+l)!}{l!(r-1)!}p^r(1-p)^{l+1}\\ &=& r(1-p)\sum_{l=0}^{\infty}\frac{(r+l)!}{r!l!}p^r(1-p)^l \\ &=& r\frac{1-p}{p} \sum_{l=0}^{\infty} \frac{(r+l)(r+l-1)\cdots(r+1)}{r!}p^{r+1}(1-p)^l \\ &=& r\frac{1-p}{p} \end{eqnarray*}

となる。3行目から4行目では、確率の総和が1であることを利用しています。ぶっちゃけ式を見ても微妙にわかりずらいので、こちらを参考にして下さい。(負の二項分布)

分散

$\begin{eqnarray*} V(X)=E(X^2)-E(X)^2 \end{eqnarray*}$ で計算できるので、 $E(X^2)$ を求めていきます。

\begin{eqnarray*} E(X^2) &=& \sum_{k=0}^{\infty} k^2 {}_{r+k-1} {C}_kp^r(1-p)^k \\ &=& \sum_{k=0}^{\infty}\{k(k-1)\} {}_{r+k-1} {C}_{k} p^r(1-p)^k \\ &=& \sum_{k=0}^{\infty} k(k-1) \cdot {}_{r+k-1} {C}_k p^r(1-p^k) +\sum_{k=0}^{\infty}k \cdot {}_{r+k-1} {C}_{k} p^r (1-p)^k \end{eqnarray*}

上式の前半の和を $A$ 、後半の和を $B$ とすると、 $B$ は平均と同じなので、 $A$ だけ求めればいいです。

\begin{eqnarray*} A &=& \sum_{k=2}^{\infty} k(k-1) {}_{r+k-1} {C}_{k} p^k(1-p)^k \\ &=& \sum_{k=2}^{\infty} k(k-1) \frac{(r+k-1)!}{k!(r-1)!}p^r(1-p)^k \\ &=& \sum_{k=2}^{\infty} \frac{(r+k-1)!}{(k-2)!(r-1)!} p^r(1-p)^k \end{eqnarray*}

ここで $l=k-2$ とおくと、

\begin{eqnarray*} A &=& \sum_{l=0}^{\infty} \frac{(r-1+l+2)!}{l!(r-1)!}p^r(1-p)^{l+2} \\ &=& \sum_{l=0}^{\infty} \frac{(r+l-1)!}{l!(r-1)!}p^r(1-p)^{l+2} \\ &=& p^r(1-p)^2(r+1)r \sum_{l=0}^{\infty} \frac{(r+l+1)!}{l!(r-1)!}(1-p)^l \end{eqnarray*}

ここで、

\begin{eqnarray*} \sum_{l=0}^{\infty} \frac{(r+l+1)!}{l!(r-1)!}(1-p)^l &=& \frac{1}{\{1-(1-p)\}^{r+2}} \\ &=& \frac{1}{p^{r+2}} \end{eqnarray*}

であるので、

\begin{eqnarray*} A=p^r(1-p)^2r(r+1)p^{-(r+2)} \end{eqnarray*}

となります。

したがって、

となります。

7.おわりに

あと課題は3つあるので、また調べながら解いたら書きます。LaTeXの練習にもなりますし、これを書いている時に論理ミスしてた箇所とか見つけたので、いい復習になります。

ぶっちゃけ確率質量関数の和がよくわかってないんですが・・・。

8.参考文献

神戸大学理学部数学科樋口研究室数理統計学10月26日講義

AVILEN AI Trend 二項分布の期待値・分散の導出(証明)

同志社大学経済学部経済学科宮澤和俊 2項分布の平均と分散

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2.組み合わせの表し方

3.二項定理

4.二項分布の平均と分散

平均

分散

5.幾何分布

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6.負の二項分布

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7.おわりに

8.参考文献

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